Bienvenidos una vez más a este espacio de formación. como ya saben, esta es la última actividad académica por el año ¡y el bachillerato! Quiero hacerles un reconocimiento por haber puesto todo su empeño por adaptarse a esta nueva modalidad educativa, esto ha implicado el desarrollo de varias habilidades en el uso de los recursos electrónicos y las herramientas TIC. Actualmente el ritmo de trabajo es más llevable que al inicio, y todo redunda en una formación técnica complementaria de sus estudios de bachillerato. A todos, quiero invitarlos a dar un cierre de actividades con esta última actividad, con el mayor ánimo, pues ya estamos prácticamente frente a la meta.
NOTA: En esta ocasión será necesario que LAS DOS TAREAS sean entregadas en PDF, porque el tiempo de revisión disponible para mí será muy corto, y ahorraré mucho tiempo al corregir documentos PDF. Si aun no sabes cómo hacerlo, al final de la entrada tienes varias recomendaciones para crear un documento PDF. La presentación del documento en PDF se incluye en la rúbrica de evaluación.
PRESENTACIÓN DEL TEMA
Comencemos por responder algunas interrogantes básicas...
¿Qué son las cónicas?
Si giramos una recta alrededor de una eje con el que tiene un punto en común, obtendremos una superficie cónica de revolución.
La intersección de una superficie cónica de revolución con un plano determina una familia de curvas que tiene una gran importancia en campos como la arquitectura o la ingeniería: las cónicas.
Se observa en la imagen que las cónicas varía en función de la inclinación del plano.
¿Para qué sirven las cónicas?
Las cónicas sirven para modelar matemáticamente formas que poseen características similares a la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Con esto se pueden desarrollar análisis matemáticos para resolver situaciones de la misma matemática, física, y otras áreas de la ciencia.
¿En dónde se aplican las cónicas?
El campo de aplicación de las cónicas es muy amplio, su uso se puede observar en las siguientes áreas:
⃝ Estudio del movimiento de los planetas (Elipse).
⃝ Diseño de reflectores de luz y antenas reflectoras (Parábola)
⃝ Diseño de telescopios reflectores (Parábolas e hipérbolas)
⃝ Construcción de espejos de luz y sonido (Hipérbola)
⃝ Sistema de navegación Lorán (Hipérbola)
⃝ Lanzamiento de proyectiles (Parábola)
⃝ Análisis de la trayectoria de un cometa (Elipse, Parábola e hipérbola)
⃝ En la medicina, desintegración del cálculos renales (Elipse)
⃝ Elaboración de piezas circulares (CD, LP, Anillos, etc) (Circunferencia)
⃝ Determinación del calibre en las armas (Circunferencia)
⃝ Diseño de medios de transporte, ruedas (Circunferencia)
⃝ Diseño de piezas mecánicas (Circunferencia)
⃝ Diseño de espacios deportivos y elementos deportivos (Circunferencia)
TEORÍA Y EJEMPLOS
Los objetivos de este tema son los siguientes:
- El estudiante estará en capacidad de reconocer cada cónica mediante su representación gráfica.
- El estudiante estará en capacidad de analizar la elipse, incluyendo su representación gráfica.
En el tema de las cóncias, se debe empezar por algunas definiciones básicas:
- Lugar geométrico: se denomina lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada condición geométrica.
- Cónica: Una cónica es la curva que se obtiene como intersección de una superficie cónica de revolución y un plano.
Sabiendo que existen varias figuras en la familia de las cónicas, estas son las siguientes:
- Elipse
- Circunferencia (caso particular de la elipse)
- Parábola
- Hipérbola
Observa este video para que te hagas una idea inicial del tema.
Video tomado de Diego Jaramillo
Esta entrada estará dedicada a la revisión de la elipse y una visión general de las cónicas.
La Elipse
Una elipse es una curva cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Generalidades
La siguiente figura es una elipse en la que se señalan los puntos esenciales que la componen.
Las partes que se presentan en la elipse, se describen de la siguiente manera:
- Los puntos A y A' son llamados VÉRTICES de la elipse.
- Los puntos F y F' son llamados FOCOS de la elipse.
- El eje que coincide con los puntos A y A', y con F y F', se denomina EJE FOCAL o EJE MAYOR.
- El punto C ubica al CENTRO de la elipse.
- Los puntos B y B' ubican los EXTREMOS DEL EJE CONJUGADO o EJE MENOR de la elipse.
- En consecuencia de lo anterior, el segmento BB' es el EJE CONJUGADO o EJE MENOR.
En los textos de matemáticas se conserva esta nomenclatura, por lo que es muy recomendable aprenderla así.
Datos adicionales:
En función de empezar el aprendizaje de esta cónica, la elipse se presenta de dos maneras posibles:
- Con el eje focal paralelo al eje X. (orientación horizontal)
- Con el eje focal paralelo al eje Y. (orientación vertical)
Por ejemplo:
El siguiente video da una explicación muy completa sobre las partes de una elipse:
Video tomado de física46
Nota: en el video hace referencia a varias partes de la elipse que se abordan el en ámbito universitario:
- Cuerda
- Diámetro
- Lado recto
por lo tanto, no los vamos a analizar en esta ocasión.
Análisis de la elipse
En esta sección veremos el desarrollo matemático alrededor de la elipse, revelando la relación entre focos, vértices y centro, determinando coordenadas del eje conjugado. Aparte de esto, conoceremos un valor llamado "excentricidad" y la "ecuación de la elipse".
A continuación se desarrollarán los casos de la elipse, dentro de los cuales se observará la variación del "eje focal" (horizontal o vertical) y elipses que tienen su centro en el origen o lo tienen fuera del mismo.
En todo caso al centro se le identifica de manera teórica con la siguiente expresión:
C (h,k) ("h" es la coordenada "x" y "k" es la coordenada "y")
Utilizando un ejemplo, se hará la demostración, señalando en cada caso las explicaciones teóricas pertinentes.
Ejemplo 1:
Se dan las coordenadas de los vértices y focos de la elipse, para que se determine:
- El centro
- La excentricidad
- Longitud de sus ejes
- Coordenadas de los extremos del eje conjugado (eje menor)
- La ecuación ordinaria de la elipse
- La gráfica
Se mostrará a partir de aquí, todo el esquema de análisis aplicado a la elipse. En esta primera ocasión se incluirán los comentarios teóricos.
Datos:
A(7,0) ; A'(-7,0) ; F(3,0) ; F'(-3,0)
Observando los vértices y focos deducimos que el eje focal o eje mayor coincide con el eje X.
a.- Centro: El centro se determina buscando el punto medio entre los dos vértices o el punto medio entre los dos focos.
Tomando los vértices, el cálculo se realiza de la siguiente forma:
Esto indica que para esta elipse,
h = 0
k = 0
(Coordenadas del centro)
b.- Excentricidad
La excentricidad es un parámetro que relaciona dos magnitudes de la elipse, que son c y a. Para calcular la excentricidad se usa la fórmula:
Se requiere determinar previamente los valores de c y a.
Para hallar c: la distancia entre el centro y un foco corresponde al valor de c.
Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:
Para hallar a: la distancia entre el centro y un vértice corresponde al valor de a.
Ahora que se tiene los valores de a y c, se puede calcular la excentricidad (e)
En la elipse, siempre se cumple que: e<1
c.- Longitud de los ejes de la elipse.
Longitud del eje mayor (en este caso, horizontal)
El eje mayor mide desde un vértice hasta el otro, por lo que basta con calcular la distancia entre los dos dos vértice, la cual es dos veces la cantidad a.
Longitud del eje menor (en este caso, vertical)
El eje menor mide la distancia entre B y B', y corresponde al doble del valor b.
Par esto, se presenta la relación que existe entre a, b y c, con la cual se resuelve este cálculo.
(Esta es una ecuación que conviene recordar)
Por lo que la longitud del eje menor sería:
d.- Coordenadas de los extremos del eje menor
Sabiendo el valor de b, los extremos del eje menor se determinan así:
Nota: como el eje conjugado es vertical, las variaciones a la coordenada del centro se hacen en su coordenada "y".
e.- Determinación de la Ecuación Ordinaria
La ecuación ordinaria es una de las representaciones que tienen las cónicas,y par cada figura existen varias ecuaciones posibles:
- Una ecuación para la figura con centro en en origen (1era Ec. Ordinaria)
- Una ecuación con centro diferente al origen (2da. Ec. Ordinaria)
PRIMERA ECUACIÓN ORDINARIA
- Cuando el eje mayor (o eje focal) es horizontal, la ecuación es la siguiente,
Es importante saber que a>b y esto relaciona a a con la x. (eje mayor horizontal)
- Cuando el eje mayor (o eje focal) es vertical, la ecuación es la siguiente,
Es importante saber que a>b y está relacionada con la y. (eje mayor vertical)
SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA
- Cuando el eje mayor (o eje focal) es horizontal, la ecuación es la siguiente,
Es importante saber que a>b y esto relaciona a a con la x. (eje mayor horizontal)
- Cuando el eje mayor (o eje focal) es vertical, la ecuación es la siguiente,
Es importante saber que a>b y esto relaciona a a con la y. (eje mayor vertical)
Habiendo visto las opciones de ecuación ordinaria de la elipse, debemos tomar la forma que corresponde a nuestro ejemplo: como es de centro en el origen deberá ser una de las dos primeras, y como tiene eje mayor horizontal resulta ser la primera opción:
Una vez identificada la ecuación adecuada a nuestro caso, sólo corresponde sustituir los valores conocidos para expresarla:
f.- Gráfica de la elipse
Para construir la gráfica de una elipse, es indispensable tener a la mano los siguientes datos:
- Saber si el eje mayor es horizontal o vertical
- Coordenadas del centro. C(h,k)
- Coordenadas de los vértices. A y A'
- Coordenadas de los focos. F y F'
- Coordenadas de los extremos de los ejes conjugados. B y B'
En nuestro caso, los datos para el ejemplo son los siguientes:
Todo esto servirá para ubicar el lugar en donde se trazará la elipse, permitirá darle formato al sistema de referencia de forma adecuada.
Una vez colocados todos esos puntos en el plano se procede a trazar la forma de la elipse.
El resultado de la elipse de este ejemplo se ve de esta manera:
Resumen de observaciones:
- Centro en el origen.
- Eje focal horizontal.
- Del centro al foco mide 3 (c)
- Del centro al vértice mide 7 (a)
- Del centro a cada extremo del eje conjugado mide 2 raiz de 10. (b)
Para completar la explicación básica, ahora desarrollaremos un ejemplo con las otras dos condiciones que no se mostraron en el primero:
- Eje focal vertical.
- Centro fuera del origen.
Ejemplo 2.
Se dan las coordenadas de los vértices y focos de la elipse, para que se determine:
- El centro
- La excentricidad
- Longitud de sus ejes
- Coordenadas de los extremos del eje conjugado (eje menor)
- La ecuación ordinaria de la elipse
- La gráfica
En esta ocasión los pasos se realizarán de forma más directa.
Datos:
A(1,3) ; A'(1,-1) ; F(1,2) ; F'(1,0)
Observando los vértices y focos deducimos que el eje focal o eje mayor es paralelo al eje Y.
a.- Centro: El centro se determina buscando el punto medio entre los dos vértices o el punto medio entre los dos focos.
Tomando los vértices, el cálculo se realiza de la siguiente forma:
Esto indica que para esta elipse,
h = 1
k = 1
(Coordenadas del centro)
b.- Excentricidad
Para hallar a: la distancia entre el centro y un vértice corresponde al valor de a.
Ahora que se tiene los valores de a y c, se puede calcular la excentricidad (e)
En la elipse, siempre se cumple que: e<1
c.- Longitud de los ejes de la elipse.
Longitud del eje mayor (en este caso, vertical)
Longitud del eje menor (en este caso, horizontal)
Calculamos el valor de b primero
Por lo que la longitud del eje menor sería:
d.- Coordenadas de los extremos del eje menor
Sabiendo el valor de b, los extremos del eje menor se determinan así:
Nota: se debe resaltar que, como en esta ocasión el eje conjugado es horizontal, la variación de las coordenadas del centro se hacen en la componente horizontal.
e.- Determinación de la Ecuación Ordinaria
Ya que el centro de esta elipse es diferente al origen corresponde seleccionar una de las segundas ecuaciones ordinarias, y es la que corresponde al eje mayor paralelo al eje Y (Eje focal vertical). Es la siguiente:
Una vez identificada la ecuación adecuada a nuestro caso, sólo corresponde sustituir los valores conocidos para expresarla:
f.- Gráfica de la elipse
Para construir la gráfica de una elipse, es indispensable tener a la mano los siguientes datos:
- Saber si el eje mayor es horizontal o vertical
- Coordenadas del centro. C(h,k)
- Coordenadas de los vértices. A y A'
- Coordenadas de los focos. F y F'
- Coordenadas de los extremos de los ejes conjugados. B y B'
En nuestro caso, los datos para el ejemplo son los siguientes:
una vez colocados todos esos puntos en el plano se procede a trazar la forma de la elipse.
el resultado de la elipse de este ejemplo se ve de esta manera:
Resumen de observaciones:
- Centro diferente al origen, C(1,1).
- Eje focal vertical
- Del centro al foco mide 1 (c)
- Del centro al vértice mide 2 (a)
- Del centro a cada extremo del eje conjugado mide raiz de 3 (b)
Fin de la explicación
COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%
(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)
Nota: los ejemplos de los videos no deberán ser considerados para la copia en el cuaderno.
ASIGNACIÓN (VALOR: 15%)
A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.
Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:
- Año académico.
- Sección.
- Nombre y Apellido del estudiante.
- Número de la asignación (#4). (o Cuaderno #4)
- Fecha de entrega.
Ejercicios:
A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación.
Para cada ejercicio mostrado, se deben realizar las siguientes actividades:
Se dan las coordenadas de los vértices y focos de la elipse, para que se determine:
- El centro
- la excentricidad
- longitud de sus ejes
- coordenadas de los extremos del eje conjugado (eje menor)
- La ecuación ordinaria de la elipse
- La gráfica
Ejercicios
- Coordenadas de vértices y focos: A(0,8) ; A'(0,-8) ; F(0,5) ; F'(0,-5).
- Coordenadas de vértices y focos: A(3,2) ; A'(-9,2) ; F(1,2) ; F'(-7,2).
CONDICIONES DE EVALUACIÓN
Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.
Rúbrica de Evaluación
Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el cuaderno"
- Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
- Debe llevar los datos solicitados en la portada.
- La asignación debe ser fotografiada convertida a formato PDF y enviada al docente únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
- Se deben transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
- Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
- Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
- Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
- JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
- Camscanner (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
- Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
- I LOVE PDF (Iphone) <Descarga aquí>
- Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.
Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:
- Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
- Para la asignación es hasta el 15 de junio (Todo el día)
- Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 16 de junio (Todo el día)
- Esta vez se han estrechado los lapsos de recepción para iniciar de inmediato con la corrección, ya que las notas se entregarán a la coordinación de evaluación la semana que sigue.
- IMPORTANTE: Al enviar los 2 correos, deben señalar los datos del estudiante:
- Nombre y Apellido
- Año y Sección
- Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
- Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del grupo de estudiantes y por secciones separadas.
- El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación.
- Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.
Enviar al correo electrónico:
ernestovaquero@gmail.com
Nota: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación.
.
¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!
M.Sc. Ernesto Vaquero
Matemáticas UEP Kalil Gibrán
