DERIVADAS (TEOREMAS)

Mis apreciados estudiantes, bienvenidos a una nueva publicación.

Cada vez falta menos para terminar el año académico y culminar el bachillerato! Están en la recta final y sólo nos quedan un par de actividades para finalizar.

En este momento quiero comentar que en general que el desempeño durante todo el año  más la trayectoria observada por los grupos desde el 4to año, refleja que su aprendizaje en las matemáticas se ha afianzado. Quiero felicitarles por el esfuerzo que realizan al adaptarse a las actividades a distancia que se imponen en este lapso, tomando en cuenta las actuales circunstancias, este es momento de "echar el resto". Sigamos trabajando para cerrar la asignatura con éxito :-)

Esta entrada está dedicada a un tema completamente nuevo, que se apoya en los conocimientos adquiridos a lo largo del bachillerato. El tema de las derivadas es importante para el desempeño en el primer semestre de la universidad, en muchas carrera (incluso carreras diferentes a ingeniería y arquitectura). El propósito particular de esta publicación es proporcionar una breve presentación de las derivadas, para facilitar su adaptación en la iniciación al sistema universitario.

En esta ocasión, la entrada ha incorporado algunas estrategias nuevas, por lo que se pide al lector que revise todo lo escrito hasta el final de la publicación. Se han implementado mejoras y  a los representantes y estudiantes se les ha dejado una nota especial al final de la entrada.

PRESENTACIÓN DEL TEMA

Las matemáticas resultan un área del conocimiento muy amplia, y en el caso del "cálculo", nos topamos con temas como  las "derivadas".

Antes de entrar de lleno a las explicaciones, me gustaría abordar algunas interrogantes...

¿Qué son los las derivadas?

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado (Wikipedia).

¿Para qué sirven las derivadas?

Desde el punto de vista técnico,las derivadas sirven para varias cosas:

• Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha función en dicho punto. Entre muchos usos, forma parte del análisis de la gráfica de una función.
• Físicamente, la derivada mide la rapidez con la que cambia una variable respecto a otra; por ejemplo la variación de la posición respecto al tiempo (Velocidad); la variación de la velocidad respecto al tiempo (aceleración).

¿Cuál es la aplicación real de las derivadas?

Las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, la mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades, sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son necesarias en la computación, entre otras disciplinas.

Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento de un vehículo, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo, sin su utilización no sería posibles. (Importancia de las derivadas)

TEORÍA Y EJEMPLOS

Comencemos por conocer la expresión de la derivada, esta tiene varias, así que voy a presentar las más usadas con sus respectivos nombres:

También se suele ver la expresión y', como la derivada de y. 

Interpretación gráfica

Sólo a manera de  referencia, se presenta la interpretación gráfica de la derivada de una función. (Observa la siguiente gráfica)

La imagen se refiere a que en un punto de una función se puede determinar la derivada, hallando la pendiente de la recta tangente a ese punto (Ver flecha). 

La forma en que se representa la explicación hace alusión a los procedimientos de análisis basados en la teoría de los límites. De hecho existe el cálculo de la  "derivada por definición", pero por cuestiones de practicidad y tiempo, no serán abordados en esta publicación. 

Derivada de una función

Algo que es muy importante, es saber que existe la derivada de una gran cantidad de funciones matemáticas, entre ellas las que ya conocemos:

• Polinómica (lineal, cuadrática, cúbica, etc)
• Racional (un polinomio sobre otro)
• Radical (Raíces)
• Logarítmica
• Exponencial
• Trigonométrica

Cuando toque aprender la derivación para cada caso, descubrirán un procedimiento adecuado para cada una de ellas, sin embargo, hay reglas fundamentales que se aplican de manera general.

Por ahora sólo abordaremos la derivada de funciones polinómicas

 

Reglas básicas de la derivada de funciones polinómicas

A continuación se presentan algunas reglas básicas de la derivación, las cuales permitirán calcular las derivadas sin el uso de la definición de las derivadas por limites.

Ahora, se presentan tres reglas fundamentales para la derivación de los polinomios:

REGLA 1

 

Hallamos la derivada de:

REGLA 2

Hallamos la derivada de:

Para reforzar, mira el siguiente video:

Video tomado de Matemáticas Profe Alex

REGLA 3

Hallamos la derivada de:

Cuando en un polinomio están presente raíces, estas se expresan en forma exponencial para poder aplicar la regla de la derivada de una potencia. Observa el siguiente video:

Video tomado de Matemáticas Profe Alex

El siguiente video complementas las explicaciones dadas anteriormente:

Video tonado de Khan Academy

Esto es todo respecto a la derivación de funciones polinómicas, y si aún deseas ver una explicación más sobre el uso de las reglas, te dejo uno sobre derivada de una constante por una función:

Video tomado de Matemáticas Profe Alex

Fin de la explicación.

COPIAR TODA LA TEORÍA MÁS LOS EJEMPLOS RESUELTOS EN EL CUADERNO TIENEN UN VALOR DE 5%

(Esto debe ser enviado en la fecha indicada para su evaluación)

ASIGNACIÓN (VALOR: 15%)

A continuación se presenta una selección de ejercicios que deben ser resueltos en hojas blancas, y luego remitidos al docente en la fecha establecida para su posterior evaluación.

Lo primero es colocar una portada básica que lleve todos los datos de la asignación:

• Año académico.
• Sección.
• Nombre y Apellido del estudiante.
• Número de la asignación (#3). (o Cuaderno #3)
• Fecha de entrega.

Ejercicios:

A continuación se presentan los ejercicios que se deben desarrollar y entregar como asignación:

Parte I

Deriva empleando las reglas de la derivación:

Parte II

Deriva utilizando las reglas de la derivación:

CONDICIONES DE EVALUACIÓN

Para que sepas de qué manera será evaluada tu asignación, he elaborado una "rúbrica", que es un instrumento de evaluación que indica el valor de cada actividad realizada. Por medio de esta rúbrica te podrás guiar para buscar el máximo rendimiento.

Rúbrica de Evaluación

Aspecto	Desarrollo	Resultados Correctos	Total
Descripción	El estudiante desarrolla completamente los ejercicios usando las reglas explicadas en la clase del blog.	Los ejercicios desarrollados mediante las reglas explicadas, tiene un resultado correcto.	Suma de los criterios
Valor	10	10	20

Condiciones de elaboración y entrega de la "asignación" y "clase en el  cuaderno"

Nuevamente, se han actualizado las indicaciones con el propósito de seguir mejorando las condiciones de envío y evaluación de las tareas.

• Debe ser realizada a mano en hojas numeradas.
• Debe llevar los datos solicitados en la portada.
• La asignación debe ser fotografiada y enviada al docente  únicamente al correo electrónico. (Tomar fotos de día o con buena iluminación)
• Se recomienda transformar las imágenes a PDF usando cualquier alternativa disponible, ya que esto reduce considerablemente el tamaño del documento final (esto logra una disminución de hasta el 80% del tamaño del archivo) y así al enviarlo el gasto de internet será mucho menor, así como será más rápido y con menos problemas. Algunas alternativas para hacer esto son:
• Guardar el un documento Word todas las imágenes ordenadas y luego "guardar como" PDF.
• Instalar en la PC un programa de Impresora PDF (PDF Printer), e imprimir seleccionando esta impresora. <Descargar aquí>(Seleccionar la versión "PRIVADO")
• Instalar en el teléfono aplicaciones que hagan la conversión de imágenes a PDF como las siguientes:
• JPG to PDF Converter (Android) <Descarga aquí>
• Camscanner (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Android) <Descarga aquí>
• Adobe Scan (Iphone) <Descarga aquí>
• Digitalizar las páginas con un escáner y mediante el propio software (del escáner) hacer la conversión a PDF.

Aquí una sencilla guía que he elaborado para usar la aplicación JPG to PDF Converter (para Android) de la manera más eficiente:

• Los plazos máximos de entrega son los siguientes:
• Para la asignación es hasta el 01-02 de junio (Todo el día)
• Para la copia de la clase en el cuaderno es hasta el 04-05 de junio (Todo el día)

• IMPORTANTE: Al enviar el correo, deben señalar los datos del estudiante: 
• Nombre y Apellido
• Año y Sección
• Tipo de tarea entregada ("Asignación" o "Cuaderno")
• Las Clases-Chat por Whatsapp se realizarán bajo petición de los representantes o del  grupo de estudiantes y por secciones separadas.
• El día y la hora de dicha sesión será acordada con el docente con un mínimo de 2 días de antelación. 
• Las consultas finalizan el viernes de la semana previa a la entrega de la asignación.

Enviar al correo electrónico:

ernestovaquero@gmail.com

Nota 1: El acuse de recibo ("Recibido") de los correos se realizará en un plazo no mayor de 24 h, en caso de no recibir confirmación pasado ese tiempo, debe comunicarse con el profesor para verificar la recepción de la tarea. Antes de ese lapso no necesita escribir al docente para solicitar confirmación. 

Nota 2: Los estudiantes de la sección A, en vez de enviar el correo deben cargar sus asignaciones en el aula virtual.

Nota Especial a los Estudiantes y Representantes:

Estimados padres y representantes, me dirijo a ustedes para explicarles que  como docente me encuentro en un proceso de autoformación en cuanto al aspecto de la educación a distancia, o como le denominan el los talleres del INDES: "Educación Remota". La incorporación de mejores y más eficientes estrategias en el proceso de enseñanza de los estudiantes pasa por una etapa  de práctica y comprobación que requiere de tiempo (tanto para la adquisición del conocimiento mismo de las técnicas, como para su práctica e implementación). Como han visto desde el principio, se han combinado formas de comunicación  asíncronas para la entrega de las clases (el Blog, con apoyo de los videos de terceros, el correo electrónico) con las formas síncronas (consultas directas por Whatsapp y Clases-Chat de Consulta vía Whatsapp). Es importante saber que la filosofía de la "Educación a Distancia" se basa en el concepto de proporcionar al estudiantes los medios para que pueda construir conocimientos, con la ayuda de su docente a través del proceso de retroalimentación  distando de la simple estrategia de brindar "clases en línea" (por ZOOM, Google Meet, etc)  o grabarse dando clases y enviarles el video a los estudiantes, esto es, por decirlo así, sólo parte accesoria de la estrategia principal, y su implementación se sujeta a las condiciones logísticas tanto de los participantes como del mismo docente para conducir la actividad (recursos, tiempo, planificación académica, entre otros). Es importante destacar que la tecnología se debe adaptar a las condiciones de acceso tecnológico que posee nuestra comunidad educativa. En este sentido se han venido empleando estrategias de bajo consumo de internet (Blogs, Whatsapp, tareas comprimidas en PDF), considerando la situación venezolana en materia de conectividad.

No obstante, las estrategias para la formación de competencias en matemáticas se refuerzan constantemente. Actualmente se agregaron las notas de audio y los videos (cortos) incorporados en el cuerpo de la explicación, con el propósito de aumentar la cobertura en el acompañamiento (asíncrono) al estudiante mientras lee la clase (escucha y mira videos). También se ha incorporado la figura de la "rúbrica", lo cual les permite prepararse con seguridad certeza para la evaluación. De modo que poco a poco se irán mostrando alternativas didácticas, en las que veamos a los alumnos involucrarse más con actividades que combinen su aprendizaje que estimulen  la motivación a la exploración de nuevos conocimientos; lo que se quiere es que ellos desarrollen las habilidades matemáticas que necesitan para su futuro desempeño académico en posteriores etapas.  Les pido que tengan paciencia y que sigan apoyando a los niños en casa para que continúen adaptándose a este sistema de educación y juntos logremos una exitosa culminación del año escolar. Es muy probable que para el próximo año implemente el uso del aula virtual (en Google Classroom) para organizar las actividades académicas de los estudiantes, sin dejar de lado todo lo desarrollado hasta el momento.

¡Hasta la siguiente entrada!

¡Si todos colaboramos, la tempestad pasará en menos tiempo, y volveremos a la normalidad. Mantengámonos unidos!

M.Sc. Ernesto Vaquero

Matemáticas UEP Kalil Gibrán